Prueba de Hipótesis

Creado por: Roberto Vallejo

Daniel Blanco

Planteamiento de una Hipótesis.

Una hipótesis estadística es una afirmación sobre los valores de los parámetros de una población o proceso, que es susceptible de probarse a partir de la información contenida en una muestra representativa que es obtenida de la población. Por ejemplo, la afirmación ''El proceso de maquila produce menos de $8 \%$ de artículos defectuosos'' se puede plantear estadísticamente, en términos de la proporción $p$ desconocida de artículos defectuosos que genera el proceso, como se hace a continuación.

$H_{0}: p=0.08\quad (\text{la proporción es 0.08} )$

$H_{A}: p<0.08\quad (\text{la proporción es menor a 0.08} )$

A la expresión $H_{0}: p=0.08$ se le conoce como hipótesis nula y $H_{A}: p<0.08$ se le llama hipótesis alternativa. El nombre de hipótesis nula se deriva del hecho de que comúnmente se plantea como una igualdad, lo cual facilita el tener una distribución de probabilidad de referencia específica. En general, la estrategia a seguir para probar una hipótesis es suponer que la hipótesis nula es verdadera, y que en caso de ser rechazada por la evidencia que aportan los datos, se estará aceptando la hipótesis alternativa. Así, en el caso de las proporciones, la afirmación que se desea probar se aceptará como cierta, sólo en caso de rechazar la hipótesis nula.


Supongamos ahora que la afirmación a probar es ''el procedo de maquila produce 8 \% de artículos defectuosos''. Observe que la afirmación se\'nala que su falsedad se da, tanto si se observan menos de $8 \%$ de defectuosos como si se observan más de $8 \%$ de defectuosos. En este sentido, el planteamiento estadístico debe ser:

$$(B) \quad \left \{ \begin{matrix} \left.H_{0}: p=0.08 \quad \text { (la proporción de defectuosos es } 0.08\right) \\ H_{A}: p \neq 0.08 \quad (\text{ la proporción es diferente a 0.08} ). \end{matrix} \right.$$


Ahora, lo que se desea concluir es la hipótesis nula. Nótese la diferencia entre las hipótesis alternativas en las expresiones ( A ) $\mathrm{y}$ (B). En (A) $H_{A}$ se conoce como hipótesis alternativa de un solo lado (unilateral), ya que la única manera de rechazar $H_{0}$ es teniendo valores de la proporción muestral $\hat{p}$ significativamente más peque\'nos que $0.08 .$ Asimismo, en (B) $H_{A}$ se llama hipótesis alternativa de dos lados (bilateral), ya que la evidencia en contra de $H_{0}$ se obtiene con valores peque\'nos o grandes de la proporción muestral $\hat{p}$. Así, la elección de la hipótesis alternativa en cuanto a si debe ser unilateral o bilateral depende de la afirmación que se quiera probar.

Otro aspecto importante es la selección del valor del parámetro que especifica la hipótesis nula, esto es, ipor qué 0.08 en las hipótesis de las expresiones (A) y (B)? Este valor se elige de manera que separe dos situaciones que llevan a tomar diferentes acciones. Por ejemplo, en la hipótesis dada en (A) se eligió 0.08, porque ésta es la proporción de defectuosos reportada el mes anterior, y después de implementar un programa de mejora se quiere ver si dio el resultado esperado. En caso de no rechazar $H_{0}$ se concluiría que el programa no funcionó y que se deben tomar medidas adicionales para bajar la proporción de defectuosos.



Estadístico de prueba

Probar una hipótesis consiste en investigar si lo afirmado por la hipótesis nula es verdad o no. La estrategia de prueba parte del supuesto de que $H_{0}$ es verdadera, $y$ si los resultados de la investigación contradicen en forma suficiente dicho supuesto, entonces se rechaza $H_{0}$ y se acepta la hipótesis alternativa. En caso de que los resultados de la investigación no demuestren claramente la falsedad de $H_{0},$ ésta no se rechaza. Es decir, la hipótesis nula es verdadera mientras no se demuestre lo contrario.

Una vez planteada la hipótesis, se toma una muestra aleatoria de la población de estudio o se obtienen datos mediante un experimento planeado de acuerdo con la hipótesis. El estadístico de prueba es un número calculado a partir de los datos
y la hipótesis nula, cuya magnitud permite discernir si se rechaza o no la hipótesis nula $H_{0}$. Al conjunto de posibles valores del estadístico de prueba que llevan a rechazar $H_{0}$, se le llama región o intervalo de rechazo para la prueba, y a los posibles valores donde no se rechaza $H_{0}$ se les llama región o intervalo de aceptación. Por ejemplo, para las hipótesis planteadas en (A) y (B), el estadístico de prueba está dado por


$$\begin{equation}\label{eq1} z_{0}=\frac{\hat{p}-0.08}{\sqrt{0.08(1-0.08) / n}} \end{equation}$$
donde $\hat{p}$ es la proporción de defectuosos que se encontró en una muestra de $n$ artículos inspeccionados. Si $H_{0}$ es verdad, el estadístico $z_{0}$ sigue aproximadamente la distribución normal estándar; la aproximación es mejor mientras más grande es el valor de $n .$ En general, se requiere $n p>10$ para una buena aproximación; en este caso, con $n p \geq 120$ unidades inspeccionadas sería suficiente.

Por ejemplo, supongamos que se toma una muestra de $n=150$ piezas y de ellas $x=20$ son defectuosas, entonces el valor de la proporción es $\hat{p}=x / n=0.13 .$ Vamos
a ver si esto implica una diferencia suficiente para rechazar que $p=0.08 .$ Por lo pronto, el valor estadístico es $z_{0}=2.4$

Criterio de rechazo


El estadístico de prueba, construido bajo el supuesto de que $H_{0}$ es verdad, es una variable aleatoria con distribución conocida. Si efectivamente $H_{0}$ es verdad, el valor del estadístico de prueba debería caer dentro del rango de valores más probables de su distribución asociada, el cual se conoce como región de aceptación. Si cae en una de las colas de su distribución asociada, fuera del rango de valores más probables (en la región de rechazo), es evidencia en contra de que este valor pertenece a dicha distribución (véase figura 2.3 ). De aquí se deduce que debe estar mal el supuesto bajo el cual se construyó, es decir, $H_{0}$ debe ser falsa.

Pruebas de una y dos colas (unilaterales y bilaterales). La ubicación de la región o intervalo de rechazo depende de si la hipótesis es bilateral o unilateral. Como se vio en el caso de las proporciones, una hipótesis es bilateral cuando la hipótesis alternativa ( $\left.H_{A} \text { ) es del tipo ''no es igual'' ( } \neq\right)$; y es unilateral cuando la alternativa es del tipo ''mayor que'' $(>)$ o ''menor que'' $(<) .$ Cuando es bilateral, como en la expresión (B), la región de rechazo está repartida de manera equitativa entre ambas colas de la distribución del estadístico de prueba. Pero si la hipótesis es unilateral, como en la expresión (A) , la evidencia en contra de la hipótesis nula se ubica en un solo lado de la distribución, esto es, la región de rechazo sólo se concentra en una de las colas. En la expresión ( A ) la región de rechazo se concentra en el lado izquierdo de la distribución del estadístico.

Las siguientes tablas corresponden a los criterios de rechazo de H0. Es importante identificar si las hipótesis son para una media o una proporción.


Tabla de criterios de aceptación de Ho para una media. OJO: para las pruebas unilaterales los criterios son de aceptación, para la prueba bilateral el criterio es de rechazo.

Taba de criterios de aceptación de Ho para una proporción. OJO: para las pruebas unilaterales los criterios son de aceptación, para la prueba bilateral el criterio es de rechazo.

Tabla de valores críticos (ya vistos en clase)

Para reforzar tus conocimientos es importante que veas los siguientes videosy reproduzcas los ejercicios en tu libreta para mayor comprensión del tema:

Video de prueba de hipótesis de media poblacional con S conocida:

Video de prueba de hipótesis para una proporción:

Ahora es momento de realizar el siguiente ejemplo resuelto, para esto te pido que lo resuelvas en tu libreta y lo practiques para adquirir el aprendizaje deseado.

EJEMPLO:
Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en el país, en el $2006,$ muestra una vida promedio de 71,8 años. Suponiendo una desviación estándar poblacional de 8,9 años, ¿parece indicar esto, que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Tomar $\alpha=0,05$

Solución:

I. Se trata de una distribución muestral de medias con $\sigma$ conocida.


II. Datos


$$\begin{array}{l} \mu=70 \text { años} \\ \sigma=8.9 \text { años } \\ \overline{\mathrm{x}}=71.8 \text { años } \\ \mathrm{n}=100 \\ \alpha=0.05, \text { confianza de } 95\% \end{array}$$

III. Prueba de hipótesis

$\mathrm{H}_{0}: \mu\leq70$

$\mathrm{H}_{1}: \mu>70$

IV. Cálculos del estadístico de prueba.

Se usará el estadístico de prueba $\mathrm{Z}_{e}=\frac{\overline{\mathrm{X}}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{{\mathrm{n}}}}$.

$$\mathrm{z}_{e}=\frac{71,8-70}{8,9 / \sqrt{100}}=2,02$$


V. Regla de decisión

El criterio de rechazo de $\mathrm{H}_{0}$ es $\mathrm{z}_{e}>Z_{\alpha}$.


VI. Decisión y justificación

Como $Z_{\alpha} = 1,645$ y $\mathrm{z}_{e}>1,645$ entonces $2,02>1,645 \Rightarrow \mathrm{z}_{0}$ cae en la zona de rechazo, por tanto se rechara $\mathrm{H}_{0}$
VII. Conclusión del problema: Con un 95$\%$ de confianza la vida promedio de los habitantes del país es mayor a 70 años.

Una ves estudiado y practicado los ejercicios podrás evidenciar tu conocimiento mediante la tarea marcada en el siguiente link.

Clic: Tarea 1, Parcial 3

Recuerda que esta evidencia deberás adjuntarla en la plataforma de Edmodo, en su apartado correspondiente.

Referencia:

Gutiérrez Pulido, H., & Vara Salazar, R. d. l. (2012). Análisis y diseño de experimentos: Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar (3a. ed. --.). México D.F.: McGrawHill.